Vanha suomalainen sananlasku sanoo, että Nokia -connecting people, disconnecting families (Nokia yhdistää ihmiset, erottaa perheet). Myös matematiikassa nokialaisuus voi olla valttia. Yhdistämällä ja erottamalla lukuja eri tavoin voi päässälaskemisesta tehdä paljon helpompaa ja sujuvampaa.
Assosiatiivisuus eli liitännäisyys on monelle koulumatematiikasta tuttu, mutta helposti unohtuva sääntö. Koska yhteen- ja vähennyslasku ovat toisiinsa liittyviä, niin niissä lukuja voidaan siirrellä ja yhdistellä vapaasti “(3+2)+1=(1+2)+3” tai 5+2–5=2+(5–5). Samalla tavoin kerto- ja jakolasku muodostavat toiminnallisen parin.
Kun aikuisilla päässälaskutaito on ajan saatossa päässyt rapistumaan tai se ei koskaan ole kehittynytkään sujuvaksi, tuppaamme laskemaan suoraan muistista vasemmalta oikealle, emmekä helposti huomaa, että sama lasku olisi voinut olla paljon helpompi suorittaa liitännäisyyttä hyödyntäen. Otetaan vaikka esimerkiksi lasku ‘4+7+6’ ja vertaa sitä sitä laskuun ‘6+4+7’. Kumpi on mielestäsi helpompi laskea vasemmalta oikealle?
Eaves kumppaneineen (2019) teki kolme pientä kokeilua aikuisilla tavoitteenaan houkutella aikuisia huomaamaan liitännäisyyden hyödyntämisen edut. Koehenkilöinä oli yliopisto-opiskelijoita.
Kokeiden asetelma oli yksinkertainen. He laittoivat osan koehenkilöistä laskemaan ensin laskuja muodossa ‘8+5–5’ ja osan ‘5+8-5’, eli samoja laskuja, mutta ensimmäisessä liitännäisyys löytyy selkeästi oikealta puolelta laskua ja jälkimmäisessä se on molemmilla puolilla. Heidän ajatuksensa oli ainoastaan houkutella laskijaa kiinnittämään huomiota laskun oikeaan laitaan ennen laskemisen aloittamista. Näin liitännäisyyden mahdollisuus olisi helpompi huomata, eikä laskemista aloitettaisi suoraan mekaanisesti vasemmalta.
Sen jälkeen kun ‘a+b–b’ -muotoisia laskuja oli esitetty 20, esitettiin koehenkilöille 20 uutta laskua (esim. 33+9–5). Ne koehenkilöistä, joita oli houkuteltu katsomaan laskun loppuosaa hyödynsivät tätä strategiaa selkeästi enemmän eli laskivat useammin 33+(9–5)=33+4=37.
Kolmannessa kokeessaan he lisäsivät uuden elementin analyyseihinsä. Osassa tehtävistä yksinkertaisesta liitännäisyyden hyödyntämisestä on ilmeistä etua (esim. ’23+29–27’), kun taas joissain tehtävissä se ei välttämättä tuota samanlaista hyötyä (esim. ’16+36–27’). Myös tässä kokeessa a+b–b -harjoittelu tuotti vaikutuksen. Sitä ensin harjoitelleet osasivat poimia paremmin laskut, joissa liitännäisyyden hyödyntämisestä oli apua.
Tutkimusten mukaan liitännäisyyslakia hyödynnetään laskemisessa vähemmän kuin esimerkiksi kommutatiivisuutta (a+b=b+a) tai käänteisyyttä (a–b=c, jolloin b+c=a). Arjen tilanteissa, joissa pitää laskea useampia lukuja yhteen tai vähentää, liitännäisyys on kuitenkin mitä mainioin apuväline. Sen käytön oppimista tukee harjoittelu, jossa tarkkaavuus ohjataan suoraan huomioimaan sen käyttömahdollisuus.
Viitteet
Eaves, J., Attridge, N., & Gilmore, C. (2019). Increasing the use of conceptually-derived strategies in arithmetic: using inversion problems to promote the use of associativity shortcuts. Learning and Instruction, 61, 84-98.
